En introduktion til funktionel analyse

Indlæg af Hanne Mølgaard Plasc

 

Fakta Et reelt vektorrum er et sæt elementer, der har to operationer, tilføjelse og skalær multiplikation. Et metrisk rum er et sæt med en metrisk, og undersøgelsen af ​​metriske rum kaldes topologi. Funktionsanalyse er et avanceret niveau af matematisk analyse og har overlejringer med mange andre typer matematik, herunder differentialekvationer, matematisk fysik, numerisk analyse, signalbehandling, kompleks og reel analyse, geometri, operatøralgebra, topologi og sandsynlighed.

Historie

Begrebet funktionel analyse opstod først i 1922, i titlen på Paul L u0026 # xE9; vy 's Le u0026 # xE7; ons de l 'analysere fonktionelle. Siden da er begrebet funktionel analyse brugt til at beskrive funktionsrum (især Banach og Hilbert rum). Denne ide stammer hovedsagelig fra en tysk matematikeres arbejde ved navn David Hilbert, der lavede mange vigtige bidrag til området i begyndelsen til midten af ​​det tyvende århundrede ifølge tidligste kendte anvendelser.

Funktioner

Specielt , er funktionel analyse ofte tænkt som undersøgelsen af ​​komplette normede vektorrum. Disse vektorrum spænder over både reelle og komplekse tal og kaldes formelt Banach-rum. Et Hilbert-rum (opkaldt til ære for David Hilbert) er et eksempel på et Banach-rum, og det er et rum, hvis indre produkt skaber en norm. Funktionel analyse introduceres normalt gennem undersøgelsen af ​​lineære og normede rum og efterfulgt af begreberne Hilbert-rum og lineære funktionaliteter. Dette følges derefter af begrebet dobbelt Banach-rum, Hahn-Banach-teorien, afgrænsede lineære operatører (såvel som kompakte operatører, dobbeltoperatører og inverterbare operatører) og endelig de mange aspekter af spektralteori.

Funktion < / h2> Begrebet Banach og Hilbert rum er af stor betydning for ren matematik, fordi de er grundlæggende for forståelsen af ​​kvantemekanik og andre fysiske områder. Desuden er funktionelle analysens vigtigste rolle ifølge Functional Analysis: En introduktion at udvikle yderligere matematiske sprog til forståelsen af ​​verden omkring os. Det tyvende århundredes matematik er næsten udelukkende baseret på funktionel analyse, fordi det er undersøgelsen af ​​'operationer' og deres 'spektrum'.

Applications

Funktionel analyse har mange applikationer. Ifølge matematisk atlas omfatter disse modeller af manifolder på topologiske lineære rum, generel topologi (såsom topologiske vektorrum) og metriske rum (såsom normede vektorrum, afstandsfunktioner og indre produkter). Funktionel analyse er et område af matematik, der er undersøgelsen af ​​vektorer, vektorrum og deres operationer. I det væsentlige er det ifølge matematisk atlas undersøgelsen af ​​uendelig-dimensionelle vektorrum inden for en vis struktur (såsom metrisk eller ringstruktur). Differentialekvationer og andre vektorkalkusbegreber anvendes i vid udstrækning i undersøgelsen af ​​funktionel analyse.