Introduktion til aksiomatisk sætteori

Indlæg af Hanne Mølgaard Plasc

 

Fakta I matematik er et sæt en samling af forskellige objekter, der bruges til at definere alle begreber. De beskrives ofte aksiomatisk, hvilket betyder ved deres egenskaber og de aksiomer, der definerer dem. Ifølge Stanford Encyclopedia er en grundlæggende idé i sætteori, at A er et medlem af B (skrevet som A 'B') eller at sæt B indeholder A som dets element.

Funktioner

Følgende egenskaber og aksiomer af sæt stammer fra det ovennævnte koncept for sæt medlemskab. For eksempel er et sæt C foreningen af ​​sæt A og B, hvis dets medlemmer er nøjagtigt de objekter, der er enten medlemmer af A eller medlemmer af B. En anden vigtig funktion er ideen om et 'par'. Det uordnede par {A, B} har som sine elementer nøjagtigt sæt A og B. Hvis A = B, så har 'parret' nøjagtigt et medlem og hedder en singleton {A}.

Historie

Historien om sætteori kan spores tilbage til 1873, da Georg Cantor beviste den reelle linies uklasselighed, hvilket betyder at reelle tal går videre for evigt. Cantor s arbejde med sætteori kom fra hans arbejde med transcendentale tal (ikke-algebraiske tal), som han opdagede i samme tid. Cantor forsøgte at undersøge rationaliteten af ​​transcendentale tal (der er faktisk mange af dem) og kom op med konceptet af countability, hvor et element er tællbart, hvis det kan tælles. Det førte til den konklusion, at uendelige sæt af tal er tællelige. Cantor viste sig da ved modstrid at sæt af alle reelle tal er uopslagsværdige.

Funktion

I begyndelsen af ​​1900'erne organiserede Ernst Zermelo sætte teoridefinitioner og systemer af aksiomer i axiomatisk sætteori. Ifølge Stanfords Encyclopedia of Philosophy var årsagerne til standardformulering af sætteori opdagelsen af ​​Russells paradoks: 'Overvej sættet S af alle sæt, der ikke er et element i sig selv. Hvis man accepterer princippet om, at alle sådanne sæt kan indsamles i et sæt, så skal S være et sæt. ' Russells paradoks kan let undgås med præcis opbygning af bestemte definitioner og principper.

Eksempel

Der er 10 grundlæggende aksiomer i aksiomatisk sætteori, ifølge Joseph R. Mileti fra University of Chicago. De er aksiomet eksistens, forlængelse, separation, parring, union, strømsætninger, uendelig, indsamling, valg og fundament. Set teori er et begreb abstrakt algebra, der undersøger sættets egenskaber. Sæt er elementære for alle ideer om ren matematik; De blev imidlertid ikke opdaget eller formaliseret indtil 1873. Desuden blev mange af de definitioner og regler, der var resultatet af sætteoriens oprindelse, ikke formuleret i aksiomer eller formelle regler indtil begyndelsen af ​​1900'erne, hvor aksiomsystemerne blev organiseret i aksiomatiske sæt teori.